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1.    期望

期望也就是平均值，是一個數(shù)值，反應(yīng)的是隨機(jī)變量平均取值的情況，期望也叫做加權(quán)平均，在信號中代表直流分量。

當(dāng)隨機(jī)變量X滿足均勻分布時，對一段長度為N的離散序列X=x[n]，n=0,1,2….N-1,其期望E(X)計算過程為：

舉例子：對于長度為10的離散型隨機(jī)變量X=sin(t)，取一個周期，求數(shù)學(xué)期望E(X).

這就是求正弦信號在一個周期內(nèi)的均值。

2.    有效值(均方根值RMS，root-mean-square）

有效值也是也個數(shù)值，又叫均方根，我們以X=Asin(t)這個信號為例。最大值Vmax=A，峰峰值Vpp=2A，假設(shè)此電壓信號作用于一個電阻為1Ω的負(fù)載，根據(jù)焦耳定律：

對于一個周期的正弦信號X=Asin(t)而言，我們計算它在一個周期2π的時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量，還要對時間進(jìn)行積分，即：

假設(shè)在相同時間2π內(nèi)，有一等效直流電壓Y作用于R=1Ω的電阻，其產(chǎn)生的熱量:

所謂有效值，指的是此直流電壓Y產(chǎn)生的熱量等效于交流電Asin(t)產(chǎn)生的熱量，二者效果一樣，所有叫有效值。

取Q2=Q，

推廣上面的計算過程，對于離散序列，可以得到均方根一般計算公式：

3.    均方值

RMS的平方就是均方值MS(mean-square value)，意思是均方根值的開方。

4.    方差

方差是一個具體的數(shù)，符號為，

衡量的是各數(shù)據(jù)偏離平均值的大小，是偏離值平方的平均值(有點(diǎn)拗口)。

方差越小，數(shù)據(jù)越集中，偏離程度越高；

方差越大，數(shù)據(jù)越分散，偏離程度越低；

對于一段長度為N的離散序列X[n]，其平均值(期望)為E，則方差（相當(dāng)于平均功率）：

有的同學(xué)看到方差的另一種計算公式：

為什么分母有N-1和N的區(qū)別呢？

N-1對應(yīng)的是無偏估計；N對應(yīng)有偏估計，其方差<=真值方差。matlab函數(shù)var默認(rèn)使用的是N-1的無偏估計計算方法。

使用無偏估計，對正弦信號X = sin(t)求方差，結(jié)果為0.5556；

使用有偏估計，求的方差為0.5

5.標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)、均方差

標(biāo)準(zhǔn)差是把方差取根號得到的。

因為方差與處理的數(shù)據(jù)的量綱有差異，所以有時我們用標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)偏離程度。

6.    均方誤差，MSE（Mean Squared Error)

和方差很像，區(qū)別在于MSE關(guān)注的是預(yù)測數(shù)據(jù)與真實值的偏離程度。

方差是數(shù)據(jù)與均值的偏離程度。

f表示預(yù)測值，y表示真實值。

7.    均方根誤差RMSE

8.    協(xié)方差Cov

協(xié)方差表示兩個變量之間有關(guān)系，定義式為:

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

上面的計算過程比較麻煩，有更簡單的計算公式：

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY) - E(X)E(Y)

強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：事件X、Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0；

反之，Cov(X,Y)=0，X、Y不一定相互獨(dú)立。

舉例子，對于X=sin(t)和Y=0.5+0.5sin(t)兩個離散序列。求其協(xié)方差：

為0.25，如果直接調(diào)用matlab函數(shù)計算：cov(X,Y)結(jié)果是0.2778

因為matlab使用的是無偏計算公式，前文有介紹，此處不多講。

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9.相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差只表示兩個事件有關(guān)系，數(shù)值可以大于1也可以小于1，怎么評估具體關(guān)系程度呢？引入相關(guān)系數(shù)概念，matlab函數(shù)為：corr或corrcoef

|ρ|≤1；

        ρ=±1，表示兩個變量線性相關(guān)

        ρ=0，表示兩個變量無關(guān)

        ρ=other，表示兩個變量有些關(guān)系

相關(guān)系數(shù)計算公式如下，各參數(shù)前文一一介紹過：

我們計算離散信號X=sin(t)和Y=0.5+0.5*sin(t)相關(guān)系數(shù);

得到相關(guān)系數(shù)為1，說明二者完全線性相關(guān)，即：Y=0.5+0.5X。

如果使用matlab自帶函數(shù)求解，結(jié)果是一樣的。

如果把Y換為Y=0.5*sin(t+0.5)，則求解到的相關(guān)系數(shù)為0.8776，說明二者非常接近線性相關(guān)。

10.    自相關(guān)函數(shù)

顧名思義，這是一個函數(shù)，上面介紹那些參數(shù)指標(biāo)都是具體的數(shù)值，從現(xiàn)在開始是介紹函數(shù)。下面是自相關(guān)函數(shù)的求解公式。描述的是同一個信號在不同時刻的相關(guān)程度，matlab公式為xcorr。

有什么作用呢?比如你有一個帶噪的信號Y，其中既有有用的信號X，也有噪聲N，噪聲太強(qiáng)烈，信噪比很低淹沒了正弦信號，就可以用自相關(guān)函數(shù)提取出X的信息。

Y=X+N=sin(t)+noise(t)，

下圖第一行為原始帶噪的信號，我們完全區(qū)分不出來其中的正弦信號；

第二行為求解得到的自相關(guān)函數(shù)；第三行為隱藏在噪聲中的sin(t)信號，可以看出求解自相關(guān)函數(shù)后，可以得到一個比較干凈的信號，其頻率和目標(biāo)信號sin(t)頻率一樣。

11.    互相關(guān)函數(shù)

把自相關(guān)函數(shù)計算過程稍微變化，則得到求解互相關(guān)函數(shù)的計算公式：

matlab函數(shù)為[a,b]=xcorr(X,Y,'unbiased');

求互相關(guān)的過程和卷積灰常灰常像，所以求卷積的過程也可以認(rèn)為是求相關(guān)。